La holonomía —de bicicleta— de una curva plana

Ponente(s): Luis Hernández Lamoneda

Imagina que hay una curva cerrada dibujada en el suelo. Coloca la rueda delantera de tu bicicleta sobre un punto cualquiera de esa curva. Observa que puedes orientar el cuadro de la bicicleta en cualquier dirección que quieras. Ahora sigue la curva con la rueda delantera hasta regresar al punto de inicio. Durante este recorrido, la rueda trasera habrá seguido otro camino distinto, dibujando su propia curva. Un antiguo problema de cartografía, planteado en 1906, pregunta lo siguiente: ¿Existe una forma específica de colocar inicialmente el cuadro de la bicicleta para que la curva que traza la rueda trasera también sea cerrada? La clave para responder está en la holonomía de la curva, un concepto que depende del “tamaño” de la curva que seguiste. Para entenderlo y demostrarlo, será necesario viajar al mundo del plano hiperbólico y recurrir a algunas de las joyas de la geometría diferencial: el teorema de Gauss-Bonnet, la desigualdad isoperimétrica, el encantador teorema de la Luna en un charco, el Lema del brazo, entre otros...