Sobre la derivada de Peano

Ponente(s): Gerardo Alfonso Marquez Sanchez

La derivada de Peano surge para extender el concepto clásico de derivada a contextos donde las funciones no necesariamente son bien comportadas y donde la derivada clásica puede no existir. Un ejemplo es la función $$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x^3\sin \frac{1}{x} & si & x \neq 0 \\ \\ 0 & si & x=0 \end{array} \right.$$ que no tiene segunda derivada clásica en 0, pero sí segunda derivada de Peano. La n-ésima derivada de Peano se expresa de una forma similar al teorema de Taylor cuando la función tiene derivadas clásicas hasta orden $n$. Este tipo de generalización recuerda a lo que ocurre con las integrales: hay funciones que no son integrables en el sentido de Lebesgue, pero sí en el de Henstock–Kurzweil.