Polinomios en campos finitos

Ponente(s): Victor Cuauhtemoc Garcia Hernandez

Sean $K$ y $F$ dos campos finitos tales que $[K:F] = n \ge 1.$ Un resultado cl\'asico establece que la extensión $F/K$ es de Galois y su respectivo grupo es c'\'{i}clico. Adem\'as, la extensi\'on se distingue por ser el campo de descomposici\'on del polinomio $x^{p^n} - x,$ donde $p$ es la caracter\'{i}stica de $F.$ M\'as a\'un, con el uso de polinomios se puede caracterizar a los subcampos intermedios, el subgrupo de Galois correspondiente y la relaci\'on entre los grados de las extensiones.Si contrastamos con los campos num\'ericos, la estructura de los campos finitos es  m\'as ``uniforme'' y, no obstante esta diferencia, sucede tal que los polinomos en $F[x]$ tienen propiedades totalmente distintas al caso de caracter\'{i}stistica cero.  El motivo de esta charla es presentar casos concretos de  estas diferencias, su profundidad e impacto en teoría de n\'umeros.