El problema de la representación mínima

Ponente(s): Eduardo Antonio Torres López

Toda álgebra de Lie de dimensión finita sobre los números complejos se puede ver como una subálgebra del álgebra general lineal $\mathfrak{gl}_n$. Esto fue probado por Ado en 1935. La prueba estándar de este resultado no da una construcción efectiva de una representación, dado que la dimensión del espacio vectorial donde se representa al álgebra de Lie resulta enorme. Esto motiva la siguiente pregunta: Dada una álgebra de Lie $\mathfrak{g}$, ¿Cuál es la mínima dimensión $n$ tal que existe una representación fiel de $\mathfrak{g}$? Dicho número $n$, fue denotado como $\mu(\mathfrak{g})$ por Burde en 1996. Este problema ya fue resuelto para el caso simple por medio de la fórmula de dimensión de Weyl. Sin embargo, hasta el 2007 se encontr\'o $\mu(\mathfrak{g})$ para el caso semisimple. El caso soluble es más complejo y solo se tienen resultados para algunas familias como son: las filiformes, las abelianas y las tipo Heisenberg. También se han conseguido resultados para álgebras de Lie con descomposición de Levi no trivial. El objetivo de esta plática es mostrar un breve panorama sobre el estudio de este invariante: Veremos las definiciones básicas para abordar el problema y mencionaremos algunos resultados que se tienen.