Una caracterización y descripción de los polinomios primitivos de grado dos

Ponente(s): Elizabeth Chalnique Ríos Alvarado

Un polinomio primitivo de grado $m$ sobre un campo finito de $q$ elementos $\mathbb{F}_{q}$ es un polinomio irreducible que genera todos los elementos no-cero de una extensión de campo de orden $m$ desde la base del campo $\mathbb{F}_{q}$. Esto implica que los polinomios primitivos pueden ser usados para representar los elementos de la estructura multiplicativa de una extensión de campo, el cual es un grupo cíclico. Es por esto que los polinomios primitivos y sus raíces han sido de gran interés en áreas como la Teoría de Números, Combinatoria y Geometría Algebraica. Además del interés teórico que pudiera despertar este tema, tiene varias aplicaciones en Teoría de Códigos y Criptografía. Debido a esto, se han hecho muchos estudios y desarrollado muchas técnicas para construir e identificar a los polinomios primitivos. Esta tarea se realiza gracias a las caracterizaciones conocidas para este tipo de polinomios. Una particularmente interesante es la de Fitzgerald, la cual es retomada y modificada por Laohakosol y Pintoptang. En ambos casos, la caracterización se determina por el número de elementos no-cero del cociente de una división larga de polinomios. El doctor Gerardo Vega presentó una nueva caracterización de los polinomios