Generalizaciones combinatorias de la conjetura de Erdos-Heilbronn

Ponente(s): Mario Alejandro Huicochea Mason

Sea $p$ un n\'umero primo y $\field_p$ el campo con $p$ elementos. Uno de los resultados m\'as importantes en Combinatoria Aditiva es el Teorema de Cauchy-Davenport el cual establece que para cualesquiera dos subconjuntos no vac\'ios $A$ y $B$ de $\field_p$, el tama\~no del conjunto $A+B:=\{a+b:\;a\in A,\,b\in B\}$ est\'a acotado inferiormene como sigue \begin{equation*} |A+B|\geq \min\{|A|+|B|-1,p\}. \end{equation*} Han habido un n\'umero importante de generalizaciones y variantes de este resultado. En particular, Erd\H{os} y Heilbronn conjeturaron que para cualesquiera $A$ y $B$ subconjuntos de $\field_p$, el tama\~no del conjunto suma restringida $A\stackrel{\cdot}+ B:=\{a+b\in\field_p:\;a\in A, \;b\in B,\; a\neq b\}$ puede ser acotado por abajo de manera similar a como lo hace el Teorema de Cauchy-Davenport: \begin{equation*} \left|A\stackrel{\cdot}+ B\right|\geq \min\{|A|+|B|-3,p\}. \end{equation*} Esta conjetura permaneci\'o abierta durante varios a\~nos hasta que Dias Da Silva y Hamidoune, y Alon-Nathanson-Ruzsa la demostraron de forma independiente. Ambas pruebas recaen sobre argumentos algebraicos como estructuras de espacios tensoriales o m\'etodos polinomiales; por esto mismo, se ha conjeturado que herramientas mayo