Sobre espectros combinados en álgebras no conmutativas

Autor: José Ricardo Núñez Hernández
Sea $\mathcal{A}$ un álgebra de Banach no conmutativa, con unidad $e$. Sean $\mathcal{B}\subset\mathcal{A}$ una subálgebra con unidad $e$ y sea $I\subset\mathcal{A}$ un ideal izquierdo cerrado. Para $\overline{a}=(a_{1}, \ldots, a_{n})$ \ con $ a_{i} \in \mathcal{B} \ \ \forall \ i = 1, \ldots, n$, definimos el \textbf{Espectro común izquierdo} $ \sigma_{\mathit{l}}(\overline{a}) $ como $$ \sigma_{\mathit{l}}( \overline{a})= \left\lbrace \ \overline{\lambda} \in \mathbb{C} \ | \ ( I, a_{1} - \lambda_{1}, \ldots, a_{n} - \lambda_{n} ) \ \ generan \ ideal \ propio \ en \ \mathcal{A} \ \right\rbrace $$ Si para cada \ $ i,j =1, \ldots, n, \ \ [a_{i}, a_{j}] \in I $, \ $I\, \mathcal{B} \subset I $ y considerando $\overline{\lambda} \in \sigma_{\mathit{l}}(\overline{a})$ \ y \ $ a_{n+1} \in \mathcal{B}$ tal que $[a_{i},a_{n+1}] \in I $. Entonces existe $\lambda_{n+1} \in \mathbb{C}$ tal que $$ (\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n},\lambda_{n+1}) \in \sigma_{\mathit{l}} (a_{1}, \ldots, a_{n}, a_{n+1}) $$ Más aún, para $\overline{x}=(x_{1}, \ldots, x_{n})$, si $P(\overline{x})=(\,P_{1}(\overline{x}), \ldots, P_{m}(\overline{x})\,)$ donde cada $P_{i}$ es un polinomio de n variables, al conjunto de todas la funciones de esta forma lo denotamos por $\mathcal{P}(\mathcal{A}^{n})^{m}$, entonces \begin{equation*} P(\sigma_{\mathit{l}}(\overline{a})\,) \subset \sigma_{\mathit{l}}(P(\overline{a})) \end{equation*} Y se verán cuales son las condiciones nesesarias y suficientes para la propiedad de mapeo espectral