Eigen-estados de Gamow-Siegert sometidos a interacciones tipo delta de Dirac
Ponente(s): Victor Barrera Figueroa
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\vspace{1.4em}
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}
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\makeatother
\begin{document}
\title{Eigen-estados de Gamow-Siegert sometidos a interacciones tipo delta
de Dirac}
\author{V\'ictor Barrera Figueroa (vbarreraf@ipn.mx)}
\maketitle
\address{Instituto Polit\'ecnico Nacional, Posgrado en Tecnolog\'ia Avanzada,
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingenier\'ia y Tecnolog\'ias
Avanzadas (SEPI-UPIITA-IPN)\\
Avenida Instituto Polit\'ecnico Nacional No. 2580, Col Barrio la Laguna
Ticom\'an, Gustavo A. Madero, Ciudad de M\'exico, C.P. 07340.}
Consideremos el operador de Schr\"odinger libre de unidades
\[
\mathcal{H}=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}+V\left(x\right),\qquad x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ x_{1},x_{2},\cdots,x_{N}\right\} ,
\]
con la funci\'on potencial $V$ definida en t\'erminos de distribuciones
de Dirac como
\[
V\left(x\right)=-\sum_{n=1}^{N}\alpha_{n}\delta\left(x-x_{n}\right),\qquad\alpha_{n}\in\mathbb{R},
\]
donde $x_{n}$ ($n=1,2,\cdots,N$) son puntos de discontinuidad en
los cuales se establecen las condiciones en la frontera
\begin{alignat*}{1}
u\left(x_{n}^{-}\right)-u\left(x_{n}^{+}\right) & =0,\\
u^{\prime}\left(x_{n}^{-}\right)-u^{\prime}\left(x_{n}^{+}\right) & =\alpha_{n}u\left(x_{n}\right).
\end{alignat*}
Consideremos el problema espectral
\[
\mathcal{H}\psi=E\psi
\]
donde $E$ toma el papel de la energ\'ia de una part\'icula cu\'antica.
Si $E>0$, la funci\'on $\psi$ representa los estados de dispersi\'on
de la part\'icula sometida al potencial $V$. Un problema
m\'as interesante a\'un consiste en considerar que $E\in\mathbb{C}$ y
que $\psi$ satisface las condiciones de onda puramente salientes
en el infinito
\begin{gather*}
\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(\psi^{\prime}\left(x\right)+\mathrm{i}\kappa\psi\left(x\right)\right)=0,\\
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\psi^{\prime}\left(x\right)-\mathrm{i}\kappa\psi\left(x\right)\right)=0,
\end{gather*}
donde $\kappa$ representa una rama apropiada de $\sqrt{E}$. En esta
charla se aborda el anĂ¡lisis de los eigen-estados de Gamow-Siegert y una representaci\'on
expl\'icita de la ecuaci\'on caracter\'istica que define las energ\'ias de
resonancia de este sistema cu\'antico.
\end{document}