Que es la teoria geometrica de control
Ponente(s): Felipe Monroy PĂ©rez
Se presenta una visi\'on panoramica de la evoluci\'on de las ideas
matem\'aticas en torno a la teor\'ia geom\'etrica de control \'optimo.
Se distinguen tres momentos:
1. Las condiciones necesarias de optimalidad del c\'alculo de
variaciones cl\'asico, desarrolladas por L. Euler y J.L. Lagrange en el
siglo XVII y mas tarde, en la d\'ecada de los 40's del siglo pasado,
por C. Caratheodory, O. Bolza, entre otros, y la llamada escuela de
Chicago del c\'alculo variacional.
2. La formulacion del Principio M\'aximo desarrollada por la escuela
de Steklov lidereada L.D. Pontryagin, en la d\'ecada de los 50's del
siglo pasado, y el subsecuente desarrollo del estudio de sistemas de
control no lineales.
3. La introducci\'on de la geometr\'ia diferencial en los a\~nos 70's,
para el tratamiento de sistemas de control no lineales, destacandose
los trabajos de los herederos de la escuela de Pontryagin en la
ex-URSS y los trabajos de R.W. Brocket, H. Sussmann y V. Jurdjevic,
entre otros, de este lado del Atlantico.
Se presenta este desarrollo hist\'orico sucinto para poner en contexto
la investigaci\'on actual de los problemas de la
geometr\'ia sub-Riemanniana y la difusi\'on hipo-el\'iptica.
El problema geod\'esico sub-Riemanianno en una variedad $M$ en la que
est\'a dada una distribuci\'on de campos vectoriales $\Delta\subsetneq
TM$ y una m\'etrica $\langle\cdot,\cdot\rangle_m$ sobre $\Delta_m,\ m\in
M$, consiste en la minimizaci\'on del funcional
$$
\int\sqrt{\langle\dot m(t),\dot m(t)\rangle}\ dt,
$$
\noindent entre las curvas $t\mapsto m(t)$ que satisfacen $\dot
m(t)\in\Delta_{m(t)}$, a.e.
Este problema geom\'etrico puede ser formulado como un problema de
control \'optimo en $M$. La combinaci\'on de t\'ecnicas de geometr\'ia
diferencial y de la teor\'ia de control \'optimo han permitido mostrar
resultados importantes. Se presentaran ejemplos concretos en
dimensiones bajas en $\mathbb{R}^4$ (geometr\'ia de Engel) y
$\mathbb{R}^5$ (geometr\'ia de Cartan).