Puntos sombrero y matrices de conjuntos

Ponente(s): Jonás Raffael Martínez Sánchez, Dr. Roberto Pichardo Mendoza

Un espacio topol\'ogico es homogeneo si para cualquier par de puntos en \'el existe un homeomorfismo que env\'ia uno en el otro. La pregunta a si la homogeneidad de un espacio implica la homogeneidad del residuo en su compactaci\'on de Stone-Čech fue respondida por Walter Rudin en 1956 de manera negativa cuando se asume la Hip\'otesis del Continuo. En concreto, Rudin prob\'o bajo CH la existencia de P-puntos en $\omega^{*}$. La dualidad entre el espacio $\omega^{*}$ y el \'algebra booleana $\mathcal{P}\left(\omega\right)/<\omega$ convierte a los ultrafiltros uniformes en $\omega$ en puntos de $\omega^{*}$ y transforma sus propiedades combinatorias en propiedades topol\'ogicas para ellos. En esta pl\'atica veremos como la noci\'on de punto sombrero de Kunen y Baker generaliza una gran variedad de ultrafiltros, tales como los P-puntos, los ultrafiltros Good de Keisler, los ultrafiltros mediocre y ultrafiltros OK, y los presenta como puntos de $\omega^{*}$ con propiedades \'unicas. Dichas propiedades son determinadas por la matriz de conjuntos que construye al punto sombrero.