La compactación de Ce\v{c}-Stone de $\mathbb{R}$

Ponente(s): José Adrián Gallardo Quiroz, Dr. Roberto Pichardo Mendoza

En el \'algebra booleana $(\mathcal{P}(\omega),\cup,\cap)$ se define el filtro de Fr\'echet como \[u=\{A\subseteq \omega:\omega\setminus A\textit{ es finito}\}.\] Dado $(X,\tau_X)$ un espacio topol\'ogico, decimos que una sucesi\'on $\{x_n\}_{n\in\omega}$ converge a $x$ si y s\'olo si para todo $U\in \tau_X$ que contenga a $x$ existe $N\in\omega$ de tal forma que $\{x_n:n\geq N\}\subseteq U$. Podemos reformular la definici\'on de convergencia en t\'erminos del filtro de Fr\'echet de la siguiente manera: la sucesi\'on $\{x_n\}_{n\in\omega}$ converge a $x$ si y s\'olo si para todo $U\in \tau_X$ que contenga a $x$ el conjunto $\{n\in \omega:x_n\notin U\}$ es finito, es decir, si el conjunto $\{n\in \omega:x_n\in U\}\in u$. Esto nos lleva a pensar, si la convergencia de una sucesi\'on se puede definir en t\'erminos del filtro de Fr\'echet, ?`podemos utilizar otro filtro en $\omega$ para definir la convergencia de una sucesi\'on? Si $u$ es un filtro en $\omega$, decimos que $x_u$ es el $u$-l\'{\i}mite de la sucesi\'on $\{x_n\}_{n<\omega}$ si y s\'olo si para cada $V\in \tau_X$ que contenga a $x_u$, se cumple que el conjunto $\{n\in \omega:x_n\in V\}\in u$ y lo denotaremos mediante \[\lim\limits_{n\to u}x_n=x_u.\] En esta pl\'atica esbozaremos la demostraci\'on de que, en espacios compactos, siempre existe el $u$-l\'{\i}mite de una sucesi\'on y adem\'as, es \'unico. Los $u$-l\'{\i}mites tienen m\'ultiples aplicaciones en el estudio de los subcontinuos de la compactaci\'on de Cec\v{c}- Stone de los n\'umeros reales y el objetivo de esta presentaci\'on es exponer algunas de \'estas.