Controlabilidad de procesos de difusion sobre superficies.

Autor: Diana Assaely León Velasco
Coautor(es): Dr. Héctor Juárez Valencia
Muchos fenómenos físico-químicos modelados por EDP tienen lugar en la superficies del planeta Tierra, por lo que cabe preguntarse si es posible controlar algunos de ellos (por ejemplo, la contaminación). Los problemas de control sobre superficies son muy escasos; de hecho, buscando en la literatura encontramos el estudio teórico de Lebeau, pero no encontramos trabajos sobre la solución numérica de este tipo de problemas sobre superficies. Por lo tanto, en este trabajo se aborda el estudio de los problemas de control sobre superficies. En particular, se estudia numéricamente la controlabilidad de procesos de difusión sobre superficies en $\mathbb{R}^3$, como la esfera. Para lograr esto, empleamos una metodología que combina diferencias finitas para la discretización del tiempo, elementos finitos para la aproximación en el espacio y un algoritmo de gradiente conjugado para la solución iterativa de una función objetivo penalizada, con el objeto de encontrar el control óptimo asociado. Los tipos de problemas que se abordan en este trabajo son los de controlabilidad, es decir aquellos en donde el objetivos es llevar un sistema difusivo (modelado por ecuaciones diferenciales parciales) a un estado final deseado. Dado un intervalo de tiempo $0 < t < T$, un estado inicial $y_0$ y un estado final $y_{_T}$ deseado, el objetivo es calcular el control $\upsilon$, actuando en un subdominio de la región de interés, que permita alcanzar el estado $y_{_T}$, ya sea en forma exacta o aproximada.