Operadores de Toeplitz con símbolo continuo en el espacio de Hardy y en el espacio de Bergman sobre el disco unitario

Autor: Miguel Ángel Rodríguez Rodríguez
Coautor(es): Dr. Egor Maximenko
Los operadores de Toeplitz son una de las clases más sencillas y naturales de operadores lineales acotados que actúan en un subespacio cerrado $H$ del espacio $L^2$. Se definen partiendo de un operador de multiplicación $M_f$, que multiplica cualquier función por una función $f$ fija llamada el "símbolo''. Ya que el factor de multiplicación $f$ podría modificar la imagen del operador, se compone el operador con la proyección ortogonal $P$ sobre del espacio $H$, de suerte que su imagen esté en el espacio original. A esta composición $PM_f$ se le conoce como el operador de Toeplitz con símbolo $f$. Estudiamos las álgebras C* de operadores de Toeplitz con símbolo continuo sobre el disco unitario cerrado en dos casos diferentes: cuando actúan en el espacio de Hardy y cuando actúan en el espacio de Bergman sobre el disco unitario. En el último caso "despreciamos" los operadores compactos, es decir, consideramos el cociente del álgebra en cuestión sobre el ideal de operadores compactos. Demostramos que estas álgebras son isomorfas al álgebra C* de funciones continuas en la circunferencia unitaria. Al estudiar el caso del espacio de Bergman se verifica que los operadores de Toeplitz con símbolo continuo son compactos si y solo si su símbolo se anula en la frontera del disco. En este sentido, se puede decir que la parte esencial de estos operadores radica en los valores que tome su símbolo en la frontera. Siguiendo esta idea, construimos finalmente una demostración alternativa de la relación entre las álgebras C* del espacio de Hardy y del espacio de Bergman. Este trabajo es una compilación de los trabajos clásicos de Gohberg, Douglas, Coburn, Vasilevski, y de otros matemáticos. El trabajo fue parcialmente apoyado por el proyecto IPN-SIP 20170660.