El teorema de extensión de Whitney-Fefferman

Ponente(s): Omar Sánchez Antonio

Sean $f\colon E\to\mathbb R$ una funci\'on definida en un conjunto $E\subset \mathbb R^n$ y $m\geq 1$ un entero. ?`C\'omo decidir si $f$ admite una extensi\'on de clase $m$?, es decir, ?`cu\'ando existe $F\in C^m(\mathbb R^n)$ tal que $F|_E=f?$ La pregunta anterior se conoce como \textbf{problema de extensi\'on}. Una soluci\'on a este problema es el teorema de extensi\'on de Whitney, tal soluci\'on requiere que existan candidatos a polinomios de Taylor de $f$ que satisfagan \emph{a priori} las condiciones de residuo de Taylor. Un punto de vista m\'as general del problema de extensi\'on, es el \textbf{problema de traza}, % en $C^m(\mathbb R^n),$ que a diferencia del teorema de extensi\'on de Whitney, busca caracterizar en t\'erminos intr\'insecos el conjunto de restricciones $F|_E,$ donde $F\in C^m(\mathbb R^n),$ por lo que se buscan condiciones %sobre $f,$ de tal forma que $f$ sea la restricci\'on de una funci\'on $C^m(\mathbb R^n).$ En esta pl\'atica se da un esquema de la soluci\'on para el problema de traza en $C^m(\mathbb R^n)$ dise\~nada por Charles Fefferman, la cual conduce a un \textbf{problema de aproximaci\'on finito}. Con esta herramienta C. Fefferman resuelve por completo el problema de extensi\'on.