Sobre el espectro de matrices laplacianas

Ponente(s): Santiago Arenas Velilla, Víctor Pérez-Abreu

El estudio del espectro asintótico de diversos tipos de matrices aleatorias ha sido un tema de interés en las últimas décadas. Entre muchos otros aspectos, se han considerado estudios sobre la distribución empírica espectral y el comportamiento asintótico del mayor eigenvalor para una diversidad de matrices aleatorias. En el caso de matrices laplacianas de gráficas aleatorias Ding y Jiang (2010) obtuvieron que la distribución empírica espectral converge débilmente a la convolución libre de una distribución semicírcular con una distribución normal, además de abordar el estudio asintótico del mayor eigenvalor de una matriz laplaciana aleatoria. Por otra parte, en un artículo publicado recientemente Bandeira (2018) estudia problemas de optimización convexa en los que usa la técnica de relajación para obtener problemas de programación semidefinida, en donde el comportamiento del mayor eigenvalor de una matriz laplaciana determina la unicidad de la solución del problema de optimización. Además, Bandeira (2018) considera la estimación del mayor eigenvalor mediante el máximo elemento de la diagonal del laplaciano. El objetivo principal de esta platica es mostrar cómo los resultados Ding y Jiang (2010) pueden ser usados para dar un marco general a varios de los resultados y aplicaciones de Bandeira (2018). Considerar este enfoque permite dar demostraciones diferentes, así como obtener extensiones de algunos resultados. También este enfoque nos permite plantear dos conjeturas, la primera sobre una aproximación a la densidad de la convolución libre de la distribución semicírcular y una distribución normal como una mezcla de las densidades de éstas y la segunda sobre la distribución asintótica del mayor eigenvalor como una distribución Gumbel.