OPERADORES HIPOELIPTICOS EN GRUPOS DE LIE UNIMODULARES
Ponente(s): Felipe Monroy PĂ©rez
Una estructura sub Riemanniana ({\sc sr}) en un grupo de Lie $G$,
est\'a definida por una familia de campos vectoriales invariantes
$\{X_1,\ldots, X_k\}$ con $k<\dim(G)$, que satisface la {\it
condici\'on del rango}, tambien llamada {\it condici\'on de
H\"ormander}\ :
$$
\mbox{span}\{\lbrack X_1,\lbrack\cdots\lbrack
X_{k-1},X_k\rbrack\cdots\rbrack\rbrack(g)\}=TgG,\quad
\forall g\in G.
$$
Una m\'etrica Riemanniana invariante queda definida al considerar
$\langle X_I,X_j\rangle=\delta_{ij}$. Siguiendo la definici\'on de
la geometr\'ia Riemanniana se define el {\it Laplaciano sub
Riemanniano} como
$$
\Delta_{sr}\phi=\mbox{div}_{sr}\mbox{grad}_{sr}\phi,
$$
\noindent y se muestra que
$$
\Delta_{sr}\phi=\sum_{i=1}^k(L_{X_i}^2+
L_{X_i}\phi\ \mbox{Tr}(\mbox{ad}
X_i)).
$$
Un grupo de Lie se denomina {\it unimodular} si las las medidas de
Haar izquierda y derecha son proporcionales. Se pueba que en grupos de
Lie unimodulares, el Laplaciano {\sc sr} se escribe como una suma de
cuadrados y que es hipo-eliptico. Es de particular importancia la
descripci\'on explicita del kernel de estos operadores.
En esta charla se presentan algunos resultados preliminares para las
expresiones del Laplaciano y su respectivo kernel, para algunos grupos
de Lie unimodulares de bajas dimensiones.