EL PROCESO DE INTEGRACIÓN Y EL ASUNTO DE LA MASA EN LOS CURSOS DE CÁLCULO EN ESCUELAS DE INGENIERÍA

Autor: José Ismael Arcos Quezada
En los textos de Cálculo, el proceso de integración para obtener una expresión simbólica para una cierta cantidad tiene lugar a partir de situaciones que recuerdan a sumas de Riemann y “el paso al límite”. En cambio, en los textos de ciencias de la ingeniería no se procede de esa manera. Supongamos, por ejemplo, que se desea calcular la masa de una placa con densidad variable, que ocupa una región R sobre el plano xy. Para todo punto (x,y) en la región se puede elegir, como elemento de área, el rectángulo con centro en (x,y) y lados infinitesimales dx y dy. La densidad en ese elemento es constante y su valor es δ(x,y), así que la contribución a la masa es dm=δ(x,y) dA y la masa total de la placa es M(R)=∫_R▒δ(x,y)dA. De esta manera, el proceso se realiza en unos cuantos pasos, en cambio, con la presentación actual en los textos de Cálculo se requiere de una explicación y justificación muy elaborada que por lo general termina por confundir al estudiante, y, lo que es más grave, no favorece la comprensión del proceso de integración como el inverso del de la diferenciación. Para conseguir congruencia entre la presentación del proceso de integración, en los cursos de Cálculo, con la manera en la que se utiliza en los textos de ciencias de la ingeniería, es necesario recuperar el sentido original de la integración como el proceso inverso de la diferenciación y la definición original de diferencial como el incremento infinitamente pequeño de una cantidad variable. Así, es posible hacer una presentación de los conceptos básicos del cálculo, en un contexto más apropiado a las escuelas de ingeniería, utilizando una simbología y terminología más acordes con la manera en la que el cálculo es utilizado en los textos de ciencias de la ingeniería. En este trabajo se muestra cómo utilizar el asunto del cálculo de la masa de un objeto no homogéneo, es decir, con densidad variable, como una introducción a los conceptos de integral de área, de línea, de volumen o de superficie, dependiendo de la geometría del objeto del que se propone determinar su masa, para lo cual se requiere aceptar y utilizar las cantidades infinitamente pequeñas.