El teorema de Hasse-Minkowski.

Ponente(s): Jorge Alberto Robles Hernandez, Carlos Ariel Pompeyo Gutiérrez.

%archivo para resumen por cartel. \documentclass[12pt,letterpaper]{letter} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphicx} \begin{document} \begin{center} \bf{\large El teorema de Hasse-Minkowski.} \\ \emph{ Jorge Alberto Robles Hernández.\\ DACB - UJAT\\ Coautor: Dr. Carlos Ariel Pompeyo Gutiérrez. } end{center} \medskip \noindent Sea $K$ un campo y sea $V$ un espacio vectorial sobre K. Consideremos adem\'as una forma bilineal sim\'etrica $\psi:V \times V \rightarrow K$. %(esto es que, $\psi$ sea lineal en ambas entradas y que $\psi (u,v)=\psi(v,u)$ para todo $u,v\in V$). Entonces podemos definir la \textbf{forma cuadr\'atica} asociada a $\psi$ como $\phi(u):=\psi(u,u)$. Uno de los resultados mas importantes en la teor\'ia de n\'umeros que involucra a las formas cuadr\'aticas es el llamado \textbf{teorema de Hasse-Minkowski}, el cual, puede ser enunciado de la siguiente manera: Sea $F(x_1,...,x_n)\in \mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$ una forma cuadr\'atica, entonces la ecuaci\'on $F(x_1,...,x_n)=0$ tiene soluci\'on en los enteros si y solo si tiene soluci\'on en los $p$-\'adicos para todo $p$ y tambi\'en en los n\'umeros reales. Su importancia reside en responder a la cuesti\'on aritm\'etica de saber cuando un cierto tipo de ecuaci\'on tiene soluci\'on en $\mathbb{Q}$, cambiando el problema a resolver dicha ecuaci\'on en otros campos, por ejemplo en los p-\'adicos, donde existen otras herramientas que permiten resolver la ecuaci\'on original. El presente cartel se dedicará a presentar parte de esta teoría y se darán ejemplos que muestren la relación entre la existencia de soluciones enteras de una forma cuadrática $F(x_1,…,x_n)$ y la existencia de soluciones de la misma en $\mathbb{Q}_p$ para $p$ primo o $\infty$.\\ \medskip {\noindent Direcci\'on electr\'onica: robles$\_$hernandez96@hotmail.com} \medskip \noindent \end{document}