La forma de la música y la ecuación diferencial de onda.

Ponente(s): Diana Patricia Barragán Vázquez, Isthar Cahum Marruffo. Rafael Zamorano Ulloa

Las matemáticas y el arte son materias entrañables a la naturaleza del ser humano, un tema de interés desde el siglo pasado ha sido la relación entre las frecuencias fundamentales de un tambor y la forma del tambor o membrana del cual provienen; surgiendo la intrigante pregunta formulada en 1966 por Marc Kac: ¿podemos oír la forma de un tambor?. Es natural pensar en esta relación ya que en general, sabemos que “se puede escuchar” el largo de la cuerda, conociendo únicamente la frecuencia fundamental de ésta. La respuesta a esta pregunta fue resuelta en 1991 cuando tres matemáticos descubrieron un contraejemplo (haciendo uso de funciones isométricas y teoría de grupos): dos tambores con la misma área y perímetro pero con diferente geometría que mostraban exactamente el mismo espectro sonoro, es decir no se puede determinar de manera unívoca la forma geométrica de un tambor sabiendo solo sus frecuencias; sin embargo, si es posible “escuchar” el tamaño de su área y el largo de su perímetro. En el presente trabajo se estudia un “Cataquí” el cual es un tambor relleno de agua, caracterísita que lo diferencia del creado por los matemáticos mencionados, éste pertenece a las culturas qom, wichí, pilagá, chorote y nivaklé, . Para ello utilizamos la ecuación diferencial parcial de onda modificada, la cual se resolvió haciendo la suposición de que los coeficientes dependientes del tiempo se pueden expresar en series infinitas de senos, además de utilizar en el desarrollo separación de variable y el método de funciones ortogonales de Fourier; en ella se supone conocida la fuerza con la que un músico golpea el tambor, la fuerza de restauración que caracteriza la membrana y la de amortiguamiento que sufre la onda sonora. Llegando así a análisis de la relación entre características palpables del tambor (tamaño, forma) y las frecuencias que lo caracterizan y poder encontrar de esta manera las condiciones necesarias que nos lleven a caracterizar la forma de un tambor unívocamente.