Electrodinámica Geométrica

Ponente(s): Anatolio Hernández Quintero

Hay ciertas relaciones entre las teorías de norma de los físicos y la teoría de conexiones de los matemáticos. Vamos a explorar estas relaciones en el caso particular de las teorías de norma para la electrodinámica clásica: dadas una función de densidad ρ y una corriente eléctrica j construimos una 1-forma de corriente J y dados un campo eléctrico E y un campo magnético B construimos una 1-forma eléctrica, una 2-forma magnética y una 2-forma electromagnética F. A partir de los potenciales electromagnéticos Φ y A (asociados a los campos electromagnéticos) construimos una 1-forma potencial A asociada a estos. Demostramos que las ecuaciones inhomogéneas de Maxwell devienen en la ecuación geométrica ∗d ∗ F = 4πJ y que las ecuaciones homogéneas de Maxwell devienen en la ecuación geométrica dF = 0. La ecuación de los potenciales es simplemente F = dA, que a su vez expresa la libertad de norma. Se puede definir una conexión dado un haz vectorial E --> M y calcular su curvatura F en términos de la matriz de formas de conexión A, que viene dada como F = dA. Por lo tanto, la libertad de norma en la electrodinámica clásica equivale a calcular la curvatura de cierta conexión.