Una estratificación por tipos de órbitas sobre el espacio de 1-formas racionales en la esfera de Riemann

Ponente(s): Julio César Magaña Cáceres

En esta pl\'atica trabajamos sobre la esfera de Riemann $\widehat{\mathbb{C}}$. Iniciamos con un resultado conocido que describe la correspodencia 1--1 entre 1--formas racionales $\omega$, campos vectoriales racionales $X_{\omega}$, parejas de campos vectoriales reales con singularidades adecuadas $(\Re{e(X_\omega)}, \Im{m(X_{\omega})})$ y superficies planas $S_{\omega} = (\widehat{\mathbb{C}}, g_{\omega})$ con una m\'etrica $g_{\omega}$ y singularidades adecuadas. Un problema natural es describir el cociente $$ \frac{\{S_{\omega}\}}{\text{Isometr\'ias}}. $$ Para entender la soluci\'on, primero estudiamos las 1--formas racionales con polos simples sobre la esfera de Riemann $\widehat{\mathbb{C}}$. Definimos una estratificaci\'on fijando el grado del divisor de polos $s \geq 2$. En cada estrato $\Omega^1(-s)$, reconocemos tres atlas complejos equivalentes con coordenadas definidas sobre los coeficientes, zeros--polos y residuos--polos de las 1--formas. Recordemos que el grupo de transformaciones de M\"obius $PSL(2,\mathbb{C})$ act\'ua por cambios de coordenadas sobre $\Omega^1(-s)$. Usando la Teor\'ia de acciones propias de grupos de Lie, describimos la estratificaci\'on por tipos de \'orbitas asociada al cociente $\Omega^1(-s)/PSL(2,\mathbb{C})$. En nuestro caso, los estratos se caracterizan por las clases de isomorfismo de los grupos de isotrop\'ia. Dando condiciones num\'ericas sobre $s$, determinamos todos los tipos de \'orbitas en $\Omega^1(-s)$. \\ \indent Por \'ultimo, usamos la herramienta desarrollada para describir el cociente $$ \mathfrak{M}(-s):= \frac{\{S_{\omega} \ | \ \omega \in \Omega^1(-s) \}}{\{\text{Isometr\'ias}\}}. $$ Si el tiempo lo permite, extendemos nuestro an\'alisis a 1--formas tales que su grado del divisor de polos $s \geq 2$ permanece fijo pero las multiplicidades de los polos son mayores o iguales a 1.