Abanicos 1/3-homogéneos

Ponente(s): Alonso Eloy Avila Devora, Dra. Yaziel Pacheco Juárez

Un continuo es un espacio métrico, conexo, compacto y no vacío. Un dendroide es un continuo arcoconexo y hereditariamente unicoherente. Para un dendroide X denotamos por R(X) y E(X) al conjunto de puntos de ramificación y al conjunto de puntos extremos, respectivamente. Denotamos también por O(X) a X∖(R(X)∪E(X)). Un abanico es un dendroide con un único punto de ramificación. Se dice que un abanico es suave si es encajable en el abanico de Cantor. La órbita de un punto x en X son aquellos puntos y en X, para los cuales existe un homeomorfismo h tal que h(x)=y. Un continuo es 1/n-homogéneo si tiene exactamente n órbitas bajo la acción del grupo de homeomorfismos. En un abanico los conjuntos O(X), E(X) y R(X), son no vacíos, por lo que un abanico tiene al menos tres órbitas, es decir, los abanicos son al menos 1/3-homogéneos. Un resultado interesante es que, salvo homeomorfismos, solo existen cinco abanicos suaves 1/3-homogéneos. La prueba de este teorema se realiza de manera exhaustiva, por casos. De manera similar, se hace la demostración de que no existe un abanico suave que sea 1/4-homogéneo.