Análisis espectral de grafos cuánticos periódicos

Ponente(s): Víctor Alfonso Vicente Benítez
En este trabajo se analiza un grafo $\Gamma=(\mathcal{V},\mathcal{E})$ incrustado en $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{Z}^m$-periódico, en cuyas aristas actúa un operador hamiltoniano dado por el operador de Schrödinger $\mathcal{H}=-\frac{d^2}{dx^2}+q(x)$, con un potencial $q\in L^{\infty}(\Gamma)$ periódico, simétrico y real valuado, dotado con las condiciones de Neumann-Kirchhoff en los vértices. El objetivo de esta plática es presentar una ecuación de dispersión que caracterice completamente el espectro $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$ para el caso en que el grafo $\Gamma$ es equilateral y equipotencial, basado en algunos resultados presentados en \cite{barrera}. Dicha ecuación se obtiene en la forma $$\eta(\lambda)=f(\theta), \quad \theta\in \mathbb{B}, $$ donde $\eta$ es una función entera en el parámetro espectral $\lambda$, $f$ es una función continua del cuasimomento $\theta$, y $\mathbb{B}$ es la zona de Brillouin asociada a $\Gamma$. Además, empleando los métodos desarrollados en \cite{neumann}, se construye una expansión de $\eta(\lambda)$ en forma de una serie de Neumann de funciones de Bessel esféricas, obteniendo así una representación analítica para la ecuación de dispersión, la cual permite el cálculo numérico del espectro $\mathfrak{S}(\mathcal{H})$. Finalmente se demuestra que si $\Gamma$ posee al menos un ciclo, entonces el espectro puntual $\mathfrak{S}_p(\mathcal{H})$ es no vacío, y los eigenvalores de $\mathcal{H}$ poseen multiplicidad infinita. Bibliografía \bibitem{barrera} \textsc{Barrera-Figuroa V., Rabinovich V.}, \textit{Effective numerical method of spectral analysis of quantum graphs}, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 50 (2017) 215207. \bibitem{neumann} \textsc{V. V. Kravchenko, L. J. Navarro, S. M. Torba}, \textit{Representation of solutions to the one-dimensional Schrödinger equation in terms of Neumann series of Bessel functions}, Appl. Math. Comput. 314 (2017) 173–192.