Estructuras $G_2$ en Aureolas de Milnor
Ponente(s): José Omegar Calvo Andrade, L\'azaro Rodriguez D\'iaz, Henrique N. S\'a Earp
Sea $\varphi\in \wedge^3 (\mathbb{R}^7)^{\ast}$ la 3 forma definida en la base $\{ e^i,\quad i=1,\dots 7\}$ por
\begin{equation}
\label{eq: G2 3-form}
\varphi_0
=e^{567}+\omega_1\wedge e^{5}
+\omega_2\wedge e^{6}
+\omega_3\wedge e^{7}
\end{equation}
donde
\begin{displaymath}
\omega_1= e^{12} - e^{34}, \quad
\omega_2= e^{13} - e^{42}, \quad
\text{and}\quad
\omega_3= e^{14} - e^{23}.
\end{displaymath}
El grupo
\[
G_2=\{g\in SO(7) : g^{\ast}\varphi=\varphi\}
\]
Sea $F:\mathbb{C}^5\longrightarrow \mathbb{C}$ un polinomio quasi--homog\'eneo con singularidad aislada en $\mathbf{0}\in \mathbb{C}^5$.
La aureola de Milnor definida como $\mathbb{K}_{F}=F^{-1}(0)\pitchfork\mathbb{S}^9$ es una subvariedad cerrada de dimension $7$ Sasakiana que en algunos casos define una variedad Calabi--Yau en un proyectivo pesado $V=\{F=0\}\subset \mathbb{P}^4_{\mathbf{w}}$, por ejemplo, cuando $F$ es homog\'eneo de grado 5.
En estos casos, $\pi:\mathbb{K}\longrightarrow V$ fibra sobre $V$ con fibra $\mathbb{S}^1$ y el grupo estructural del haz de marcos de $\mathbb{K}=\mathbb{K}_F$, se reduce de manera can\'onica al grupo excepcional $G_2$ que es co--cerrada, definida por la $3$--forma $\varphi\in \Omega^3_{\mathbb{K}}$, que satisface $\varphi|_{T_p\mathbb{K}^{\ast}}=\varphi_0$ con $d\ast\varphi=0$, donde
\begin{equation}
\label{eq-GrayG2structure}
\begin{array}{rcl}
\varphi &:=& \theta\wedge \pi^{\ast}\omega + \pi^{\ast} \Im\epsilon,\\
\psi &:=&\frac{1}{2}\pi^{\ast}\omega\wedge\pi^{\ast}\omega
+ \theta\wedge \pi^{\ast}\Re\epsilon=*\varphi
\end{array}
\end{equation}
donde $\omega$ es la forma de K\"alher y $\epsilon$ la forma de volumen holomorfa en $V$. La forma $\theta\in \Omega^1_{\mathbb{K}}$ que se restringe a la forma de \'angulo a las fibras $\mathbb{S}^1$.
Podemos distinguir las parejas $(\mathbb{K},\varphi)$ con el invariante de Crowley-Nordstr\"om $\nu(\varphi)\in \mathbb{Z}_{48}$.
\begin{Gtheorem}
Sean $F$ polinomio quasi--homog\'eneo que define una variedad Calabi--Yau en un proyectivo con peso. Sea $(\mathbb{K},\varphi)$ la aureola de Milnor con su $G_2$--estructura. Entonces
\begin{enumerate}
\item El invariante de Crowley--Nordstr\"om $\nu(\varphi)\in \mathbb{Z}_{48}$ es impar.
\item Si $\alpha\in \mathbb{Z}_{48}$ es impar, entonces existe $F:\mathbb{C}^5\longrightarrow \mathbb{C}$ un polinomio quasi--homog\'eneo con singularidad aislada en $\mathbf{0}\in \mathbb{C}^5$
tal que la aureola de Milnor $(\mathbb{K}_F,\varphi)$ admite una $G_2$--estructura y $\alpha=\nu(\varphi)$.
\end{enumerate}
\end{Gtheorem}