Modelos Epidemiológicos en Redes

Ponente(s): Ilse Dominguez Aleman, Dr. Juan Carlos Hernández Gómez
La modelación matemática de epidemias constituye un área activa de investigación en epidemiología, pues permite analizar la dinámica de propagación de diversas enfermedades. Es por ello que la construcción de dichos modelos matemáticos en epidemiología es de gran importancia, ya que a través de ellos se pueden entender los mecanismos que subyacen en la propagación de una epidemia, probar una hipótesis, estimar parámetros, predecir en forma cualitativa el curso de la epidemia, sugerir estrategias de control, entre otros; además se encarga de desarrollar los métodos y técnicas necesarios para cumplir con sus objetivos. En 1927 Kermack y McKendrick presentan un modelo matemático basado en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que simulaba la propagación de la peste bubónica, en dicho modelo ellos dividieron a la población en tres estados: El estado susceptible que representa a los individuos que son propensos a contraer la enfermedad, al cardinal de ese conjunto se le denota como S(t); el estado infectado que conglomera a los individuos que tienen la capacidad de infectar a individuos susceptibles, a los cuales se les denota como I(t); y el estado de individuos recuperados que son aquellos que ya han sido infectados y han adquirido inmunidad permanente, es decir no pueden ser infectados de nuevo, a los cuales se les denota como R(t); es claro que la cantidad de individuos que conforman cada una de estos estados es una función del tiempo t. El principal problema que se presenta en la mayoría de estos modelos epidemiológicos basados en ecuaciones diferenciales, es que ignoran la estructura de la población, el cual es un factor importante en la propagación de una epidemia. Es por ello que uno de los objetivos de esta investigación es estudiar cómo se ve la propagación de una epidemia en distintos tipos de grafos, pues permiten estudiar la estructura de una población a través de cómo esta agrupado, y de cómo se puede propagar una epidemia a través de este. Esta propuesta nos va permitir simular la estructura de una población a través de su representación como un grafo. Por consiguiente, es razonable suponer que cada individuo representa un vértice, y el medio de contacto o propagación de la epidemia hacia otro individuo lo podemos representar mediante una arista, de modo que los individuos puedan presentar dos dinámicas: infección y recuperación. Para analizar la propagación de una epidemia en la estructura de un grafo, se debe tomar en cuenta cómo se relacionan las personas y considerar los patrones generales de las relaciones que hay en una población. Estas últimas pueden conectar a los individuos de tal manera que éstos formen diadas, triadas o, que tengan contacto con pequeños subgrupos de una población. En este poster, se darán algunos ejemplos de cómo se propaga una epidemia en algunos grafos específicos, asimismo se presentarán algunos conceptos epidemiológicos y su relación con invariantes del grafo. Por otro lado, se estimará un $R_0$ para cada vértice de las diferentes familias de grafos, el cual nos dará a conocer el número esperado de infecciones secundarias cuando un individuo infectado se introduce en una población de individuos susceptibles durante todo el tiempo en el cual el individuo sigue siendo infectado. Posteriormente se calculará un $R_0$ general para cada grafo analizado. Palabras clave: Modelos epidemiológicos, Teoría de Grafos, Propagación de una enfermedad.